【大学受験】和積の公式・積和の公式の導出

どうも!KAZUTOです!

 

今回は三角関数における

積和の公式と
和積の公式の導出

について解説していきます!

 

積和の公式の導出

ここでは

\begin{align}& \Large \sin (\alpha + \beta) \\
\\&\Large=  \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \tag{1}
\\
\\
\\
& \Large \sin (\alpha – \beta) \\
\\&\Large=  \sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha \sin \beta \tag{2} \end{align}

で表される加法定理を利用します。

 

この式(1)と(2)のをとって

\begin{align}& \Large \sin (\alpha + \beta)+\sin (\alpha – \beta) \\
\\& \Large=2\sin \alpha \cos \beta  \tag{3}\end{align}

これを変形して

\begin{align}& \Large \sin \alpha \cos \beta\\
\\& \Large= \frac{1}{2}\{ \sin (\alpha + \beta)+\sin (\alpha – \beta) \} \tag{4}\end{align}

という積和の公式の1つ目が得られます。

 

次に

\begin{align}&\Large \cos (\alpha + \beta) \\
\\& \Large=  \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta \tag{5}\\
\\
\\
\\&\Large \cos (\alpha – \beta) \\
\\& \Large=  \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \tag{6}\end{align}

であらわされる加法定理を使います。

 

まず式(5)式と(6)式のをとります。

すると
\begin{align}&\Large \cos (\alpha + \beta) + \cos(\alpha-\beta)\\
\\& \Large=  2\cos \alpha \cos \beta \tag{7} \end{align}

(7)式をさらに変形して

\begin{align}& \Large \cos \alpha \cos \beta\\
\\& \Large= \frac{1}{2}\{ \cos (\alpha + \beta)+\cos (\alpha – \beta) \} \tag{8}\end{align}

という積和の公式の2つ目が得られます。

 

次は式(5)式と(6)式のをとります。

すると
\begin{align}&\Large \cos (\alpha + \beta) – \cos(\alpha-\beta)\\
\\& \Large=  -2\sin \alpha \sin \beta \tag{9} \end{align}

(9)式をさらに変形して

\begin{align}& \Large \sin \alpha \sin \beta\\
\\& \Large= -\frac{1}{2}\{ \cos (\alpha + \beta)-\cos (\alpha – \beta) \} \tag{10}\end{align}

という積和公式の3つ目が得られます。

積和の公式の導出は以上になります。

 

和積の公式の導出

それではここからは

和積の公式の導出

をやっていきます。

和積の公式の導出にあたっては
先程解説した以下の
3つからなる積和の公式
を利用して求めます。

積和の公式

\begin{align}& \Large \sin \alpha \cos \beta\\
\\& \Large= \frac{1}{2}\{ \sin (\alpha + \beta)+\sin (\alpha – \beta) \} \end{align}

\begin{align}& \Large \cos \alpha \cos \beta\\
\\& \Large= \frac{1}{2}\{ \cos (\alpha + \beta)+\cos (\alpha – \beta) \} \end{align}

\begin{align}& \Large \sin \alpha \sin \beta\\
\\& \Large= -\frac{1}{2}\{ \cos (\alpha + \beta)-\cos (\alpha – \beta) \} \end{align}

 

この公式において
$ \large \alpha→\frac{\alpha + \beta}{2}, \beta→\frac{\alpha – \beta}{2}$
という変換を行い、両辺を2倍すると

\begin{align}& \Large \sin \alpha+\sin \beta \\
\\& \Large = 2\sin\left (\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha – \beta}{2} \right)\end{align}

 

\begin{align}& \Large \cos \alpha +\cos \beta \\
\\& \Large=2 \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha – \beta}{2}\right) \end{align}

 

\begin{align}& \Large \cos \alpha-\cos\beta \\
\\& \Large= -2\sin \left(\frac{\alpha + \beta}{2} \right) \sin\left(\frac{\alpha – \beta}{2} \right) \end{align}

という積和の公式が得られます。

以上が積和の公式の導出です。

 

 

積和の公式・和積の公式
覚えるのは大変だから
基本的に導出の流れを覚えておいて
必要に迫られた時に自分で作れるように!

今回はこれで以上だ!

 

↓↓さらに飛躍したい君に↓↓

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