どうも！KAZUTOです！
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積和の公式の導出
ここでは
\begin{align}& \Large \sin (\alpha + \beta) \\
\\&\Large= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \tag{1}
\\
\\
\\
& \Large \sin (\alpha – \beta) \\
\\&\Large= \sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha \sin \beta \tag{2} \end{align}
で表される加法定理を利用します。
この式(1)と(2)の和をとって
\begin{align}& \Large \sin (\alpha + \beta)+\sin (\alpha – \beta) \\
\\& \Large=2\sin \alpha \cos \beta \tag{3}\end{align}
これを変形して
\begin{align}& \Large \sin \alpha \cos \beta\\
\\& \Large= \frac{1}{2}\{ \sin (\alpha + \beta)+\sin (\alpha – \beta) \} \tag{4}\end{align}
という積和の公式の1つ目が得られます。
次に
\begin{align}&\Large \cos (\alpha + \beta) \\
\\& \Large= \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta \tag{5}\\
\\
\\
\\&\Large \cos (\alpha – \beta) \\
\\& \Large= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \tag{6}\end{align}
であらわされる加法定理を使います。
まず式(5)式と(6)式の和をとります。
すると
\begin{align}&\Large \cos (\alpha + \beta) + \cos(\alpha-\beta)\\
\\& \Large= 2\cos \alpha \cos \beta \tag{7} \end{align}
(7)式をさらに変形して
\begin{align}& \Large \cos \alpha \cos \beta\\
\\& \Large= \frac{1}{2}\{ \cos (\alpha + \beta)+\cos (\alpha – \beta) \} \tag{8}\end{align}
という積和の公式の2つ目が得られます。
次は式(5)式と(6)式の差をとります。
すると
\begin{align}&\Large \cos (\alpha + \beta) – \cos(\alpha-\beta)\\
\\& \Large= -2\sin \alpha \sin \beta \tag{9} \end{align}
(9)式をさらに変形して
\begin{align}& \Large \sin \alpha \sin \beta\\
\\& \Large= -\frac{1}{2}\{ \cos (\alpha + \beta)-\cos (\alpha – \beta) \} \tag{10}\end{align}
という積和の公式の3つ目が得られます。
積和の公式の導出は以上になります。
和積の公式の導出
それではここからは
和積の公式の導出
をやっていきます。
和積の公式の導出にあたっては
先程解説した以下の
3つからなる積和の公式
を利用して求めます。
\begin{align}& \Large \sin \alpha \cos \beta\\
\\& \Large= \frac{1}{2}\{ \sin (\alpha + \beta)+\sin (\alpha – \beta) \} \end{align}
\begin{align}& \Large \cos \alpha \cos \beta\\
\\& \Large= \frac{1}{2}\{ \cos (\alpha + \beta)+\cos (\alpha – \beta) \} \end{align}
\begin{align}& \Large \sin \alpha \sin \beta\\
\\& \Large= -\frac{1}{2}\{ \cos (\alpha + \beta)-\cos (\alpha – \beta) \} \end{align}
この公式において
$ \large \alpha→\frac{\alpha + \beta}{2}, \beta→\frac{\alpha – \beta}{2}$
という変換を行い、両辺を2倍すると
\begin{align}& \Large \sin \alpha+\sin \beta \\
\\& \Large = 2\sin\left (\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha – \beta}{2} \right)\end{align}
\begin{align}& \Large \cos \alpha +\cos \beta \\
\\& \Large=2 \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha – \beta}{2}\right) \end{align}
\begin{align}& \Large \cos \alpha-\cos\beta \\
\\& \Large= -2\sin \left(\frac{\alpha + \beta}{2} \right) \sin\left(\frac{\alpha – \beta}{2} \right) \end{align}
という積和の公式が得られます。
以上が積和の公式の導出です。
積和の公式・和積の公式は
覚えるのは大変だから
基本的に導出の流れを覚えておいて
必要に迫られた時に自分で作れるように！
今回はこれで以上だ！
↓↓さらに飛躍したい君に↓↓
今回は三角関数における
積和の公式と
和積の公式の導出
について解説していきます！