【大学受験】オイラーの公式の導出

どうも!KAZUTOです!

 

今回は

オイラーの公式の導出

を解説していきます!

 

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オイラーの公式とは

まずオイラーの公式とは
つぎのような公式をさします。

$$\Large e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta$$

これは数Ⅲで学習する内容で
複素数平面で大活躍してくれます。

 

なぜこの公式が成り立つか

というのは勉強する必要はありませんが
知っておくと何かと役に立つ場合もあります。

また

なんでこの公式が成り立つのか
めっちゃ気になる

という人のためにこれから
その導出過程を解説していきます。

 

導出するまえにしっておきたい「テイラー展開」

オイラーの公式を導出するにあたり、

テイラー展開

というを使います。

これ自体は大学で勉強する範囲なので
簡単に解説するに留めます。

 

この技は

特殊な関数をべき関数($\large x^n$)で置き換える
(近似する)

ことを可能にしてくれます。

ではこのテイラー展開
具体的にどのようなものかと言うと

\begin{eqnarray}\large f(x)&\large =&\large f(0)+\frac{1}{2}f'(0)x+ \frac{1}{2 \times 3 }f”(0)x^2\\
&\large +&\large … +\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n…\end{eqnarray}

これがテイラー展開です。

上に載せたものを特に

原点(x=0)周りでの
テイラー展開

というように言います。

(これはふ~んそうなんだーくらいで聞き流してください)

これは無限に続いきていきます。
(そうでない場合もありますが
高校の範囲であればそう思っていて問題ないです)

 

これをさらにコンパクトに書くと

$$\Large f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n$$

というようになります。

 

指数関数、三角関数のテイラー展開

それでは上で紹介したテイラー展開をやってみるとどうなるのか。

これは$\large e^x$の場合には
いくら微分しても形が変わらないこと

三角関数は
一回微分するごとに形が交互に移り変わる
ことなどに注意すると次のようになります

\begin{eqnarray} e^x &=& 1+\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}x^2+…\\
\\
&=& \Large \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}x^n \tag{1}\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\sin x &=& x-\frac{1}{3!}x^3+ \frac{1}{5!}x^5-…\\
\\
&=& \Large \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{(2n+1)} \tag{2}\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\cos x &=& 1-\frac{1}{2!}x^2+ \frac{1}{4!}x^4-…\\
\\
&=& \Large \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} \tag{3}\end{eqnarray}

 

さて、オイラーの公式を導く準備が整いました。

次からその導出を見ていきます。

 

オイラーの公式の導出

まずオイラーの公式を以下に再掲します。

$$\Large e^{i\theta}=\cos \theta + i\sin \theta$$

この公式の左辺$e^{i\theta}$について
テイラー展開を実行すると

上の(1)式において$\large x→i\theta$
という置き換えを行い

$$\Large e^{i\theta} =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}{(i\theta)}^{n} \tag{4}$$

となります。

(4)式において、さらに
偶数番目の項奇数番目の項に分けて展開して

\begin{align*}&\Large e^{i\theta}\\
&= \sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{2m!}{(i\theta)}^{2m}+ \sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{(2m+1)!}{(i\theta)}^{2m+1} \tag{5}\\
\\
\\
&= \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{2m!}{\theta}^{2m}+ i\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{(2m+1)!}{\theta}^{2m+1} \tag{6} \end{align*}

このように表すことができます。

 

(6)式において、第一項をよ~くみるとこれは
$\large \sin x$をテイラー展開した(2)式において
$\large x→\theta$という変換を行ったものに
形が一致しています。

 

さらに(6)式において、
第二項もよ~くみると$\Large i$以外の部分は
$\large \cos x$をテイラー展開した(3)式において
$\large x→\theta$という変換を行ったものに
形が一致しています。

 

以上のことから

$$\Large {(6)式の右辺}= \cos \theta + i\sin \theta$$

となることが言えました。

 

このようにしてオイラーの公式

$$\Large e^{i\theta}=\cos \theta + i\sin \theta$$

が導かれます。

 

オイラーの公式の導出を知ってると得すること

このオイラーの公式は別に覚えておく必要はないですが
覚えておくと少し得をします。

具体例で言うと

$$ x>0において \\
\\
\sin x > x-\frac{1}{6}x^3を示せ$$

という問題があったとします。

先ほどの展開の話を知らない人は、
この問題の見通しを立てることが難しいです。

しかしこのオイラーの公式の導出過程を知っていれば
不等号の右側が

sinを途中までテイラー展開したものだ

と気づけるでしょう。

そしてグラフ上は以下のようになっています。 

この問題の実際の解法としては

$\large f(x)=\sin x-(x-\frac{1}{6}x^3)$を定義して

$$\Large f(x)>0$$
が$x>0$において常に成り立つことを
示すことになります。

 

オイラーの公式の導出は知らなくても
全然問題ないけど知っておくと
少し得だから頭の片隅には入れておいてくれ!

今回はこれで以上だ!

 

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