【大学受験】大小関係を不等式を使って証明する問題の攻略法《5パターン》

どうも!KAZUTOです!

 

今回は、数学の問題でよく出る

不等式を使って
大小関係を証明する問題

を攻略するための指針となる

全5パターンの解法

を解説していきます!

↓↓成績で伸び悩んでいる方へ↓↓

 

パターン①差をとる

これは基本中の基本です。

$次のような大小関係を示さなければならないとします。$
$$\Large f(x) \leqq g(x)$$

$このとき次のように『差』をとります。$

$$ \Large f(x)-g(x)\leqq 0$$

$これが1つ目の解法パターンです。$

この差をとるというのは解法の1つであると同時に
他の解法を利用する際に
絶対に必要になる操作でもあります。

 

なので、大小関係を証明しないと
いけない問題に取り組むときは

まずとりあえず差をとる

ことを忘れないようにしましょう。

 

パターン②相加相乗平均の利用

そうか相乗平均とは以下のような
不等式の関係を指します。

$任意の2つの実数a,b(a>0, b>0)について$

$$\Large \frac{a+b}{2} \leqq \sqrt{ab} $$

これは自分で好きな変数を選び
新たに不等式(大小関係)を作り出せる
という点でも重要です。

 

これは不等式を攻略する上で
見逃されがちな方法なので
しっかり解法の1つとして
覚えておくようにしましょう。

補足
ここでは2変数
相加相乗平均の関係を使っていますが、

これは3変数の場合でも
次のように成り立ちます。

$$\Large \frac{a+b+c}{3} \leqq \sqrt[3]{abc} $$

 

パターン③数学的帰納法の利用

数学的帰納法は
次のような添字がつくような
不等式の証明や数列の中の大小関係
を示す場合に有効です。

$任意の自然数nに対して$
$$\Large f_n(x)\leqq g_n(x) $$
(これもをとって考える!)

$または$
$$\Large f_n(x)\leqq f_{n+1}(x)$$

このような場合に有効です。

そもそも数学的帰納法とは
前述したような問題に対し

n=1で不等式が
成り立つことを示し、

それを利用して
その他全てのnで不等式が
成り立つことを示す。

という方法です。

数学Bの範囲になるのでまだ
数学的帰納法を勉強していないという人は

不等式にも
使えることがある

ということもちゃんと忘れずに
勉強するようにして下さい。

 

パターン④関数として捉える

パターン①と同様に
次のような大小関係を
示したい場合を考えます。

$$\Large f(x)-g(x)\leqq 0 $$

この左辺をを
1つの関数として捉える
という解法です。

$つまり、$
$$\Large f(x)-g(x)=h(x)$$
$というような置き換えを行い、$

$$\Large h(x) \leqq 0 $$
$を示せばいいということ。$

これをやることで

1つの関数について
0との大小関係を示す問題

に帰着できます。

 

これは$h(x)$の

最小値、または最大値
0と比較する問題

であり、極値の概念(数Ⅱ)
などを駆使すれば簡単に考えられる。

 

パターン⑤凸不等式の利用

おそらくこれが
不等式問題の最難ではないかと思います。

※ここからは数学Ⅲの内容を使うので
内容的に難しくなります。

 

まず凸不等式というのはどのようなものかというと

関数が
下に凸、または上に凸である
という性質を利用し
値の大小関係を導く

という方法です。

比較の対象となるのは
線分であったり
接線であったりします。

これは適宜自分で
何と比較するかは決めないといけません。

 

いまいちピンとこないと思うので
以下では具体例を出してみます。

 

$$\Large \mathrm{e}^{\pi} >21を証明せよ。$$
$$(\mathrm{e} =2.71、\pi= 3.14 として計算して良い。) $$

これは実際に
東大の入試問題として出題されたものです。

$\Large y= \mathrm{e}^{x}$という関数を考えます。

これは次のように(常に)
下に凸な関数です。

(見やすさのために多少補正がされています)

 

その性質のために$y= \mathrm{e}^{x}$
という関数の接線関数自体の間には

$$\Large {\bf 接線} \leqq \mathrm{e}^{x}$$
という関係が常に成り立ちます。

 

従って$\bf x=3$での接線を考え、
この接線と$y= \mathrm{e}^{x}$を$\large x=\pi 上で$比較すると、、

(↑わかりやすいようにズームをしたもの)

 

従って

$$\Large \mathrm{e}^{\pi} >21$$

を示すことができました。

このように
関数が下に凸が上に凸かを利用することで
不等式を示すことができます。

ここでは厳密に示しませんでしたが
関数が上に凸か下に凸かの示し方
数学Ⅲで習うのでそれを参考にして下さい。

これが使えるのは大体
$$\Large \mathrm{e}^{x}か\log x $$
のどちらかの形の場合が多いので
覚えておくといいです。

以上

不等式の問題を攻略する
解法5パターン

を紹介しました。

 

 

これらの5パターン
しっかりと頭にいれておけば
不等式を使って大小関係を示す問題
少しはやりやすくなると思うから
ぜひ利用してくれ!

またここにはないようなパターンの問題
も出るかもしれないから
そのときは自分で

6パターン目として

覚えておくようにしてくれ!

今回はこれで以上だ!

 

↓↓成績で伸び悩んでいる方へ↓↓


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