【大学受験】半角の公式の導出

どうも!KAZUTOです!

 

今回は

半角の定理の導出

を解説していきます!

 

今回導出する公式は以下の2つの公式です。

\begin{eqnarray} \Large \sin^{2} \frac{\theta}{2} &\Large=& \Large \frac{1-\cos2\theta}{2}
\\
\\
\\
\\
\Large \cos^{2} \frac{\theta}{2} &\Large=& \Large \frac{1+\cos2\theta}{2}\end{eqnarray}

 

\begin{eqnarray} \Large \sin^{2} \frac{\theta}{2} &\Large=& \Large \frac{1-\cos2\theta}{2}\end{eqnarray}

ここでは
$$\Large \cos 2\theta = 1-2\sin^{2}\theta \tag{1}$$

で表される倍角の公式を使います。

 

この(1)を変形すると

$$\Large \sin^{2}\theta = \frac{1-\cos2\theta}{2} \tag{2}$$

が得られます。

もうわかりましたね?

この(2)式において$\theta → \frac{\theta}{2}$
というように書き換えると

$$ \Large \sin^{2} \frac{\theta}{2} =  \frac{1-\cos2\theta}{2}$$

という半角の公式が得られます。

 

\begin{eqnarray}\Large \cos^{2} \frac{\theta}{2} =  \frac{1+\cos2\theta}{2}\end{eqnarray}

では次です。

ここでは
$$\Large \cos 2\theta = 2\cos^{2}\theta-1 \tag{3}$$

という先ほどとは別の
倍角の公式を用います。

 

この(3)を変形すると

$$\Large \cos^{2}\theta = \frac{1+\cos2\theta}{2} \tag{4}$$

が得られます。

この(4)式において先程のように$\theta → \frac{\theta}{2}$
というように変換を行うと

\begin{eqnarray}\Large \cos^{2} \frac{\theta}{2} =  \frac{1+\cos2\theta}{2}\end{eqnarray}

という求めたい
半角の公式を得ることができます。

 

以上が半角の公式の導出です。

 

半角の公式の使い所

半角の公式はどんな時に使われるか
についてです。

半角の公式は主に

三角関数の次数を
下げたい場合

に用いられます。

ここで字数とは
三角関数の肩に乗っている数字のことです。

 

この公式の利点は

次数を2から1に
下げることができる

という点にあります。

次数を下げた方がいいかどうかは
適宜自分で判断するしかありませんが、
とにかく

半角の公式は
三角関数の次数を
下げることができる

という点は覚えておきましょう。

 

半角の公式を丸暗記する必要はなくなるので
今回解説した内容は
しっかりと理解しておくようにな!

あとこの公式の利点
しっかり覚えておくように!

今回はこれで以上だ!

 

↓↓さらに飛躍したい君に↓↓

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