【大学受験】三角関数の公式とその覚え方を一挙紹介!

どうも!KAZUTOです!

 

今回は

三角関数の公式

を一挙紹介していきます!

 

↓↓さらに飛躍したい君に↓↓

 

三角関数の覚え方

3つの

三角関数の覚え方

から紹介していきます。

この時以下のような三角形を考えます。 

そして、左から右に線を引いてあげます。

この時線がまたいでいる2本の辺を使い、
最初に通過した辺を分母
次に通過した辺を分子におき
次のようにして$\sin$が定義されます。

$$ \Large \sin \theta = \frac {a}{r}$$

 

次に上から下へ線を引いてあげます。

この時線がまたいでいる2本の辺を使い、
最初に通過した辺を分母
次に通過した辺を分子におき
次のようにして$\cos$が定義されます。

$$ \Large \cos \theta = \frac {b}{r}$$

 

最後に左下から右上に向かって線を引いてあげます。

この時線がまたいでいる2本の辺を使い、
最初に通過した辺を分母
次に通過した辺を分子におき
次のようにして定義されます。

$$ \Large\tan \theta = \frac {a}{b}$$

これら三角関数の
基本公式としては

$$\Large \sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta=1$$

$$\Large 1+\tan^{2}\theta=\frac{1}{\cos^{2}\theta}$$

があります。

1つ目の公式は三角関数の定義から、
2つ目の式は1つ目の公式から導かれます。

合わせて読みたい

三角関数の基本公式の導出
については以下で解説しています!

【大学受験】三角関数の基本公式の導出

2020年6月19日

 

加法定理

\begin{align}& \Large \sin (\alpha \pm \beta) \\
\\&\Large=  \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta
\\
\\
\\
\\
&\Large \cos (\alpha \pm \beta) \\
\\& \Large=  \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \beta \sin \alpha
\\
\\
\\
\\
&\Large \tan (\alpha \pm \beta) \\
\\ &\Large= \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1-\mp \tan \alpha \tan \beta}\end{align}

 

$ \sin (\alpha+\beta)$に関しては
咲いたコスモス コスモス咲いた

$ \cos (\alpha+\beta)$に関しては
コスモスコスモス 咲いた咲いた
という覚え方があるので利用してみると良いです。

 

この公式はもちろん導出できるものですが、
覚えてしまった方が簡単なので導出までしっかり理解しておく必要はあまりないです。

 

倍角の公式

\begin{eqnarray} \Large \sin 2\theta &\Large=& \Large 2\sin \theta \cos \theta
\\
\\
\\
\Large \cos 2\theta &\Large=& \Large \cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta
\\
\\
&\Large=& \Large 2\cos^{2}\theta -1
\\
\\
&\Large=& \Large 1-2 \sin^{2}\theta
\\
\\
\\
\Large \tan 2\theta &\Large=& \Large \frac{2\tan\theta}{1- \tan^{2}\theta}\end{eqnarray}

これらは加法定理から
導くことができます。

 

$ \cos 2\theta $について
どの変形を使うか
適宜自分で判断するようにして下さい。

基本的に三角関数の問題ではsinかcosの

どちらか一方だけが
出てくる式にして考える

というのが基本なので、これを念頭におけば
どの変形を使うべきかも見通しがつきやすいです。

 

半角の公式

\begin{eqnarray} \Large \sin^{2} \frac{\theta}{2} &\Large=& \Large \frac{1-\cos2\theta}{2}
\\
\\
\\
\\
\Large \cos^{2} \frac{\theta}{2} &\Large=& \Large \frac{1+\cos2\theta}{2}\end{eqnarray}

これらは倍角の公式から
導くことができます。

 

合わせて読みたい

半角の公式の導出については以下で解説しています!

【大学受験】半角の公式の導出

2020年6月20日

 

正弦定理

正弦定理とは以下のように
半径$R$の円に内接する
次のような三角形について

$$\Large \frac{A}{\sin \alpha }= \frac{B}{\sin \beta}= \frac{C}{\sin \gamma}=2R$$

が成り立つことを指します。

 

合わせて読みたい

正弦定理の導出については以下で解説しています!

【大学受験】正弦定理の導出とその使い所

2020年6月20日

 

余弦定理

余弦定理では以下のような三角形に対して

$$\Large a^2=b^2+c^2-2bc\cos \theta$$

が成り立つことを指します。

 

和積の公式

\begin{align} & \Large \sin \alpha + \sin \beta \\
&\Large = 2\sin{\frac{\alpha + \beta}{2}}\cos{\frac{\alpha – \beta}{2}}
\\
\\
\\
& \Large \sin \alpha – \sin \beta \\
&\Large = 2\sin{\frac{\alpha – \beta}{2}}\cos{\frac{\alpha + \beta}{2}}
\\
\\
\\
&\Large \cos \alpha + \cos \beta  \\
&\Large = 2\cos{\frac{\alpha + \beta}{2}}\cos{\frac{\alpha – \beta}{2}}
\\
\\
\\
&\Large \cos \alpha – \cos \beta \Large \\
& \Large = -2\sin{\frac{\alpha + \beta}{2}}\sin{\frac{\alpha – \beta}{2}} \end{align}

これらは加法定理で得られた
それぞれの式を連立することで導出できます。

 

積和の公式

 

\begin{align}
&\Large \sin \alpha \cos \beta \\
& \Large = \frac{1}{2}\{ \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}
\\
\\
\\
&\Large \sin \alpha \sin \beta \\
&\Large = -\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\}
\\
\\
\\
&\Large \cos \alpha \cos \beta \\
&\Large = \frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\}\end{align}

これらは和積の公式
用いて導出できます。

 

合わせて読みたい

和積の公式積和の公式
導出については以下で解説してます!

【大学受験】和積の公式・積和の公式の導出

2020年6月20日

 

3倍角の公式

\begin{eqnarray} \Large \sin 3\theta &\Large =& \Large 3\sin \theta-4\sin^{3}\theta
\\
\\
\\
\Large \cos 3\theta &\Large=& \Large 4\cos^{3}\theta-3\cos \theta
\end{eqnarray}

これらは加法定理を用いて導出できます。

 

 

以上が
三角関数に関する公式
になります!

これらの存在をしっかりと意識し
問題に取り組む際
すぐに使えるようにしておきましょう!

あと、左から右に公式を読んだろうが
問題によっては紹介した公式を
右から左に使う場合もあるので
そのことも頭に入れておいてな!

今回はこれで以上だ!

 

↓↓さらに飛躍したい君に↓↓

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です