【大学受験】正弦定理の導出とその使い所

どうも!KAZUTOです!

 

今回は

正弦定理の導出

について解説していきます!

 

正弦定理とは

まず正弦定理とはなにか、ですが
正弦定理とは以下のように

半径Rの円に内接する三角形

について

$$\Large \frac{A}{\sin \alpha }= \frac{B}{\sin \beta}= \frac{C}{\sin \gamma}=2R$$

が成り立つことを指します。

今回はこの導出を解説します。

 

正弦定理の導出

ここでは以下のような
円に内接する三角形を考えます。

 

そしてこの時次のように $ \large A’$を円上にとります。

すると円周角の定理より
∠BAC=∠BA’C
が成り立ちます。

故に

 

△A’BCについて考えると、三角関数の定義から

$$\Large \sin \theta =\frac{BC}{2R}$$
これをさらに変形して
$$\Large 2R= \frac{BC}{\sin \theta}$$

が得られます。

ここでは△ABCのAの角度ついてのみ説明しましたが、他の角度についても同様の議論を行うことにより

$$\Large 2R= \frac{CA}{\sin ∠ABC }$$

$$\Large 2R= \frac{AB}{\sin ∠BCA}$$

を得ることができます。

これらをまとめて結局

このような三角形については

$$\Large \frac{A}{\sin \alpha }= \frac{B}{\sin \beta}= \frac{C}{\sin \gamma}=2R$$

という正弦定理を導出することができました。

 

正弦定理
丸暗記しないで済むように
今回のないようは
ちゃんと理解してくれよな!

今回はこれで以上だ!

↓↓さらに飛躍したい君に↓↓

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