【大学受験】三角関数の基本公式の導出

どうも!KAZUTOです!

 

今回は

三角関数の
基本公式の導出

を解説していきます!

 

$\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta=1の導出$

まず以下のような単位円を考えます。

単位円とは半径が1の円のことです。

つまりこの円において
円上の全ての点について
その点と原点を繋いだ線分の長さになります。

 

そしてその性質と三角関数の定義から
以下のように$\Large \theta$を定めると

 

円上の各点の座標は

$$\Large x=\cos \theta$$
$$\Large y=\sin \theta $$
このように表すことができます。

座標$(x,y)$と減点と距離$\large r$には
3平方の定理より

$$\Large x^2+y^2=r^2$$

という関係が成り立つことから、
この時円の半径は1

つまり$\Large r=1$なので

これらを代入して

$$ \Large \sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta=1$$

が導かれます。

 

$1+\tan^{2}\theta =\frac{1}{\cos^{2}\theta}の導出$

これは

$$ \Large \sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta=1$$

を愚直に式変形していくことで得られます。

 

$$ \Large \sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta=1$$
の両辺をまず$\cos^{2} \theta$で割ります。

すると

$$ \Large \frac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta}+1=\frac{1}{\cos^{2} \theta}$$

また

$$ \Large \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

なので、これを使って
上の式は

$$ \Large \tan^{2} \theta +1=\frac{1}{\cos^{2} \theta}$$

つまり

$$\Large 1+\tan^{2}\theta =\frac{1}{\cos^{2}\theta}$$

を導くことができました。

 

以上が三角関数の基本公式の導出になります!

 

これらの導出過程を知っていれば
その場で自分で公式を作り出せて
丸暗記する必要はなくなるからちゃんと理解しておくように!

今回はこれで以上だ!

 

↓↓さらに飛躍したい君に↓↓

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